Congruences ...

Bonjour ! Comme vous le savez peut-être je suis en Spé Maths cette année, et déjà les problèmes arrivent : Les congruences.
J'avoue avoir un peu de mal à me faire à ces nouveaux types de raisonnement, alors si vous pourriez m'aidez ...

1° Je dois démontrer que si n est un entier naturel impair alors ncarré et 1 sont congrus modulo 8.

J'ai déjé écrit cela sous la forme ncarré = 8k + 1
ensuite je dit que si n est impair alors n = 2k +1 d'où ncarré = 4kcarré + 4k + 1.
Faut-il montrer que n est divisible par 8 ? Et si oui comment ?

Si n est un entier naturel impair alors n=2p+1 avec p entier naturel.
on a alors n² = (2p+1)² = 4p²+4p +1 = 4p(p+1) +1.
p(p+1) est le produit de deux nombres entier consécutif c'est donc un multiple de 2 donc p(p+1) = 2k avec k entier naturel.
On obtient alors n²= 8k+1 avec k un entier naturel d'où n² est congru à 1 modulo8.